1、341 基本不等式基本不等式导学提纲第导学提纲第二二课时课时 一一 学习学习目标目标： 1 进一步理解基本不等式；基本功能有： （1）将平方和与两数和互化； （2）将和与积互化； （3）能用基本不等式求最值。 2学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题 3均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。 二二 重点难点：重点难点： 1、最值定理：若, x y都是正数，且xyS，xyP，则 如果 P 是定值, 那么当_x=y 时，S 的值有最小值_2 P； 如果 S 是定值, 那么当_x=y
2、时，P 的值有最大值_214S. 注意：1前提： “一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；2“和定积最大，积定和最小” ，可用来求最值； 3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 2、难点：、难点：对于函数)0, 0()(baxbaxxf的单调性为 ；定义域内不含实数ab的类型的最值问题，要会用函数的单调性求解 3、基本不等式基本不等式的的变形公式的运用变形公式的运用： （1）20,0aa（aR）； （2） ；2abab （3）ab ； （4）ab （5） 2ba 。 三三 导学导学过程：过程： （1）了解感知：
3、）了解感知： 例 1求下列函数的最值，并说明当x取何值时函数取到最值 （1）312,(0)yxxx； （2）1,(1)1yxxx ， （3）22,(1)1xxyxx 。 变式： （1）求函数2251xyx；2254xyx的最小值 （2）若不等式2211xcccxc 恒成立，则正数c的取值范围是 。 （2）深入学习：）深入学习： 例 2 （1）若实数0, ba，且有1)(baba，求出ba 的最小值。 例3 已知 Ryx,且x+y=4， 求yx21的最小值。 某学生给出如下解法： 由x+y=4得，xy24 ，即211xy，又因为xyyx2221，由得221yx，即所求最小值为2。请问：这位同学的
4、解法对吗？ 练：已知, x yR，且1xy，求23uxy的最小值。 变式： （1）已知：10 x, 求证：222)(1baxbxa。 （2）a、b、cR,a+b+c=1,则23 a+23 b+23 c_6(填“、=”) （3）已知0ab，求216ab ab的最小值。 （3）迁移应用：）迁移应用： 1若a,b,c0 且a(a+b+c)+bc=4-23,则 2a+b+c的最小值为（ ） （A）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 2、设0abc，则221121025()aaccaba ab的最小值是 .w_w w. k# s_u.c 3设,Rba且, 1ba则1abab的最小
5、值是 . 4 （1）如果正数, a b满足3abab ，求ab的取值范围。 （2）已知ba,均为正数，且有12 ba，求 ba11的最小值。 5若有1x, 求函数1122xxxy的最小值。 参考答案例 1 （1）因为0 x ，所以33122 1212yxxxx， 当且仅当312xx，即12x 时，min12y； （2）因为0 x ，所以33( 12 )2 ( 12 )12yxxxx ， 当且仅当312xx，即12x 时，max12y ； （3）因为10 x ，所以11(1)1211 111yxxxx ， 当且仅当111xx ，即0 x 时，min1y； （4）因为10 x ，所以41311yx
6、x ， 当且仅当411xx ，即1x 时，min1y； 例 2解：令211tx ，则225441xyttx ； 当2t ，即3x 时，min4y；x k b 1 . c o m 令242tx，则22514xyttx 在2,上单调递增， 当2t ，即0 x 时，min52y。 变式：令2txcc，则2211xcyttxc ；min2,011,1cyccc； 例 3 （1）因为,0a b，所以 解 1： 2222221111212222abua bab 当且仅当2221ab即1a 时取等号，故a b21的最大值为2。 解 2： 222222122222aaua baa ； 解 3： 2222122
7、2112ua baaa 。 例 4解： （1）因为,0a b，所以212ababab，解得22 2ab， 当且仅当12ab 时，ba 有最小值222； （2）因为, x yR，且1xy，所以 方法 1：2323552 6yxuxyxyxy， 当且仅当23yxxy，即62x 时，等号成立，故u的最小值为52 6。x k b 1 . c o m 方法 2：2321152 661152 6522xuxxxxxx， 当且仅当62x 时，等号成立。 方法 3：232511xuxxxx，得2120uxu x，w w w .x k b 1.c o m 由2180uu ，得52 6u ，当且仅当62x 时，等
8、号成立。来源:Z#xx#k.Com 变式： （1）因为, a bR，ab，所以由已知，22aab bab， 即20ababab，得1ab， 又ab，得22abab，解得413ab。 （2）因为10 x，令10yx ，则 222222aba yb xuxyabxyxy2222ababab。 12解：因为0ab，所以2224babab ab， 222166416uaab aba。 当且仅当82abab，即222ba，时取等号. *练习参考答案* 15 DBDCD； 5提示：若, ,0a b c 且()42 3,a abcbc 所以242 3aabacbc，222221142 3(44422)(44
9、42)44aabacbcaabacbcbcaabacbcbc 22(2 32)(2)abc，则(2abc )2 32，选 D. 6207； 7 174； 提示：2124abtab， 所以1104yttt 的最小值是174。 8两个不等式中，等号不能同时取到 9解： （1）方法 1：323ababab，得9ab； 方法 2：由已知114ab， 11111ababab 1152 459ab，当且仅当3ab取等号。 （2）112()2332 2bauababab ，当且仅当222b取等号。 10解： （1）令10tx ，则132347ytt ，当且仅当2x 取等号。 （2） 因为20 x，222cos8sin( )cot4tan42sin cosxxf xxxxx， 当且仅当1tan2x 取等号。 12证明：因为a、b R，所以1111()()2baababababababab， 又1ba，所以2124abab， 所以111511151724161616164ababababab，即425)1)(1(bbaa。 也可以由nake函数性质加以说明。
